Tõenäosusteooria on matemaatika eriharu, mida õpivad ainult kõrgkoolide üliõpilased. Kas teile meeldivad arvutused ja valemid? Kas te ei karda normaaljaotuse, ansambli entroopia, matemaatilise ootuse ja diskreetse juhusliku suuruse dispersiooniga tutvumise väljavaateid? Siis pakub see teema teile suurt huvi. Tutvume selle teaduse osa kõige olulisemate põhimõistetega.
Tule meelde põhitõed
Isegi kui mäletate tõenäosusteooria lihtsamaid mõisteid, ärge jätke tähelepanuta artikli esimesi lõike. Fakt on see, et ilma põhitõdedest selge arusaamiseta ei saa te allpool kirjeldatud valemitega töötada.
Seega on mingi juhuslik sündmus, mingi katse. Teostatud toimingute tulemusena võime saada mitu tulemust – ühed neist on levinumad, teised vähem levinud. Sündmuse tõenäosus on ühte tüüpi tegelikult saadud tulemuste arvu ja võimalike tulemuste koguarvu suhe. Teades ainult selle mõiste klassikalist määratlust, võite hakata uurima pideva matemaatilist ootust ja dispersiooni.juhuslikud muutujad.
Aritmeetiline keskmine
Isegi koolis, matemaatikatundides, hakkasite töötama aritmeetilise keskmisega. Seda mõistet kasutatakse tõenäosusteoorias laialdaselt ja seetõttu ei saa seda ignoreerida. Meie jaoks on hetkel peamine, et me seda juhusliku suuruse matemaatilise ootuse ja dispersiooni valemites kohtame.
Meil on arvude jada ja tahame leida aritmeetilise keskmise. Meilt on vaja vaid kõik saadaolev summeerida ja jagada jada elementide arvuga. Olgu meil arvud 1 kuni 9. Elementide summaks on 45 ja me jagame selle väärtuse 9-ga. Vastus: - 5.
Dispersioon
Teaduslikus mõttes on dispersioon saadud tunnuste väärtuste kõrvalekallete keskmine ruut aritmeetilisest keskmisest. Üks on tähistatud suure ladina tähega D. Mida on selle arvutamiseks vaja? Jada iga elemendi jaoks arvutame olemasoleva arvu ja aritmeetilise keskmise erinevuse ning ruudume selle. Väärtusi on täpselt nii palju, kui võib olla selle sündmuse tulemusi, mida kaalume. Järgmisena võtame kokku kõik saadud ja jagame jada elementide arvuga. Kui meil on viis võimalikku tulemust, jagage viiega.
Dispersioonil on ka omadused, mida peate meeles pidama, et seda probleemide lahendamisel rakendada. Näiteks kui juhuslikku suurust suurendatakse X korda, suureneb dispersioon X korda ruudu võrra (st XX). See ei ole kunagi väiksem kui null ega sõltu sellestväärtuste nihutamine võrdse väärtuse võrra üles või alla. Samuti on sõltumatute katsete korral summa dispersioon võrdne dispersioonide summaga.
Nüüd peame kindlasti kaaluma näiteid diskreetse juhusliku suuruse dispersiooni ja matemaatilise ootuse kohta.
Oletame, et tegime 21 katset ja saime 7 erinevat tulemust. Vaatlesime neid kõiki vastav alt 1, 2, 2, 3, 4, 4 ja 5 korda. Mis on dispersioon?
Kõigepe alt arvutame välja aritmeetilise keskmise: elementide summa on loomulikult 21. Jagage see 7-ga, saades 3. Nüüd lahutage igast algses järjestuses olevast arvust 3, asetage iga väärtus ruutu ja lisage tulemused koos. Selgub, et 12. Nüüd jääb meil arv jagada elementide arvuga ja tundub, et see on kõik. Kuid siin on konks! Arutame seda.
Sõltuvus katsete arvust
Selgub, et dispersiooni arvutamisel võib nimetaja olla üks kahest arvust: kas N või N-1. Siin on N tehtud katsete arv või jada elementide arv (mis tegelikult on sama). Millest see sõltub?
Kui testide arvu mõõdetakse sadades, siis nimetajasse tuleb panna N. Kui ühikutes, siis N-1. Teadlased otsustasid piiri tõmmata üsna sümboolselt: täna jookseb see mööda numbrit 30. Kui tegime vähem kui 30 katset, jagame summa N-1-ga ja kui rohkem, siis N-ga.
Ülesanne
Pöördume tagasi meie dispersiooni- ja ootusprobleemi lahendamise näite juurde. Meiesai vahearvu 12, mis tuli jagada N või N-1-ga. Kuna tegime 21 katset, mis on vähem kui 30, siis valime teise variandi. Vastus on: dispersioon on 12/2=2.
Ootus
Liikume teise kontseptsiooni juurde, mida peame selles artiklis kaaluma. Matemaatiline ootus on kõigi võimalike tulemuste liitmise tulemus, mis on korrutatud vastavate tõenäosustega. Oluline on mõista, et nii saadud väärtus kui ka dispersiooni arvutamise tulemus saadakse kogu ülesande jaoks ainult üks kord, olenemata sellest, kui palju tulemusi see arvesse võtab.
Ootusvalem on üsna lihtne: me võtame tulemuse, korrutame selle tõenäosusega, lisame sama teise, kolmanda tulemuse jne jaoks. Kõike selle mõistega seonduvat on lihtne arvutada. Näiteks matemaatiliste ootuste summa on võrdne summa matemaatilise ootusega. Sama kehtib ka töö kohta. Mitte iga suurus tõenäosusteoorias ei võimalda selliseid lihtsaid tehteid sooritada. Võtame ülesande ja arvutame kahe uuritud mõiste väärtuse korraga. Lisaks segas meid teooria – on aeg harjutada.
Veel üks näide
Käivitasime 50 katset ja saime 10 erinevat tüüpi tulemust – numbrid 0 kuni 9 –, mis esinesid erinevate protsentidega. Need on vastav alt: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Tuletage meelde, et tõenäosuste saamiseks peate protsendiväärtused jagama 100-ga. Seega saame 0,02; 0, 1 jne. Esitame juhuslikkuse dispersiooniväärtuse ja matemaatilise ootuse näide ülesande lahendamisest.
Arvutage aritmeetiline keskmine valemi abil, mida mäletame põhikoolist: 50/10=5.
Nüüd tõlkime tõenäosused tulemuste arvuks "tükkidena", et oleks lihtsam loendada. Saame 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 ja 9. Lahutage igast saadud väärtusest aritmeetiline keskmine, misjärel ruudustame kõik saadud tulemused. Vaadake, kuidas seda teha, kasutades näitena esimest elementi: 1 - 5=(-4). Edasi: (-4)(-4)=16. Muude väärtuste puhul tehke need toimingud ise. Kui tegite kõik õigesti, saate pärast kõigi vahetulemuste lisamist 90.
Jätkake dispersiooni ja keskmise arvutamist, jagades 90 N-ga. Miks valime N, mitte N-1? See on õige, sest tehtud katsete arv ületab 30. Seega: 90/10=9. Saime dispersiooni. Kui saate teistsuguse numbri, ärge heitke meelt. Tõenäoliselt tegite arvutustes banaalse vea. Kontrollige kirjutatut ja kõik läheb kindlasti paika.
Lõpuks meenutagem ootuste valemit. Me ei anna kõiki arvutusi, kirjutame ainult vastuse, mida saate kontrollida pärast kõigi vajalike protseduuride sooritamist. Ootus on 5, 48. Meenutame ainult, kuidas toiminguid teha, kasutades esimeste elementide näidet: 00, 02 + 10, 1… ja nii edasi. Nagu näete, korrutame tulemuse väärtuse lihts alt selle tõenäosusega.
hälve
Teine dispersiooni ja eeldatava väärtusega tihed alt seotud mõiste onstandardhälve. Seda tähistatakse kas ladina tähtedega sd või kreeka väiketähtedega "sigma". See kontseptsioon näitab, kuidas keskmiselt erinevad väärtused kesksest tunnusest. Selle väärtuse leidmiseks peate arvutama dispersiooni ruutjuure.
Kui koostate normaaljaotuse graafiku ja soovite sellel otse näha standardhälbe väärtust, saab seda teha mitmes etapis. Võtke pool pildist režiimist vasakule või paremale (keskväärtus), tõmmake horisonta alteljega risti nii, et saadud kujundite pindalad oleksid võrdsed. Jaotuse keskkoha ja sellest tuleneva horisonta altelje projektsiooni vahelise lõigu väärtus on standardhälve.
Tarkvara
Nagu valemite kirjeldustest ja toodud näidetest näha, ei ole dispersiooni ja matemaatilise ootuse arvutamine aritmeetilisest seisukohast kõige lihtsam protseduur. Et aega mitte raisata, on mõttekas kasutada kõrghariduses kasutatavat programmi – selle nimi on "R". Sellel on funktsioonid, mis võimaldavad arvutada paljude mõistete väärtusi statistikast ja tõenäosusteooriast.
Näiteks määrate väärtuste vektori. Seda tehakse järgmiselt: vektor <-c(1, 5, 2…). Nüüd, kui peate selle vektori jaoks arvutama mõned väärtused, kirjutage funktsioon ja esitate selle argumendina. Dispersiooni leidmiseks peate kasutama vari. Tema näidekasutamine: var(vektor). Seejärel vajutage lihts alt sisestusklahvi ja saate tulemuse.
Kokkuvõtteks
Diperatsioon ja matemaatiline ootus on tõenäosusteooria põhimõisted, ilma milleta on tulevikus raske midagi välja arvutada. Ülikoolide loengute põhikursusel arvestatakse nendega juba aine õppimise esimestel kuudel. Just nende lihtsate mõistete mittemõistmise ja nende arvutamise puudumise tõttu hakkavad paljud üliõpilased kohe programmis maha jääma ja saavad hiljem sessiooni lõpus kehva hinde, mis jätab nad ilma stipendiumidest.
Harjutage vähem alt üks nädal pool tundi päevas, lahendades sarnaseid probleeme selles artiklis kirjeldatutega. Siis saate mis tahes tõenäosusteooria testis näidetega hakkama ilma kõrvaliste näpunäidete ja petulehtedeta.
