Paljude inimeste jaoks on matemaatiline analüüs vaid arusaamatute arvude, ikoonide ja määratluste kogum, mis on tegelikust elust kaugel. Maailm, milles me eksisteerime, on aga üles ehitatud numbrilistele mustritele, mille tuvastamine aitab mitte ainult õppida tundma meid ümbritsevat maailma ja lahendada selle keerulisi probleeme, vaid ka lihtsustada igapäevaseid praktilisi ülesandeid. Mida peab silmas matemaatik, kui ta ütleb, et arvujada koondub? Seda tuleks arutada üksikasjalikum alt.
Mis on lõpmata väike?
Kujutame ette matrjoškasid, mis mahuvad üksteise sisse. Nende suurused, mis on kirjutatud numbrite kujul, alustades suurimast ja lõpetades neist väikseimaga, moodustavad järjestuse. Kui kujutate ette lõpmatul hulgal selliseid eredaid figuure, siis on tulemuseks olev rida fantastiliselt pikk. See on konvergentne arvujada. Ja see kipub nulli, kuna iga järgneva pesitsusnuku suurus, mis katastroofiliselt väheneb, muutub järk-järgult tühjaks. Nii et see on lihtnesaab seletada: mis on lõpmatult väike.
Sarnane näide oleks tee, mis viib kaugusesse. Ja seda mööda vaatlejast eemale sõitva auto visuaalsed mõõtmed, mis järk-järgult kahanevad, muutuvad täpitaoliseks vormituks täpiks. Seega muutub masin nagu objekt tundmatus suunas eemaldudes lõpmatult väikeseks. Määratud keha parameetrid ei ole kunagi null selle sõna otseses tähenduses, vaid kalduvad alati selle väärtuseni lõpplimiidis. Seetõttu koondub see jada uuesti nulliks.
Arvutage kõike tilkhaaval
Kujutagem nüüd ette maist olukorda. Arst määras patsiendile ravimi võtmise, alustades kümnest tilgast päevas ja lisades igal järgmisel päeval kaks. Ja nii soovitas arst jätkata, kuni ravimiviaali, mille maht on 190 tilka, sisu saab otsa. Eelnevast järeldub, et selliste arvude arv päevade kaupa on järgmine numbriseeria: 10, 12, 14 ja nii edasi.
Kuidas teada saada kogu kursuse läbimiseks kuluvat aega ja jada liikmete arvu? Siin võib muidugi primitiivselt tilku lugeda. Kuid mustrit arvestades on palju lihtsam kasutada aritmeetilise progressiooni summa valemit sammuga d=2. Ja seda meetodit kasutades saate teada, et arvurea liikmete arv on 10. Sel juhul, a10=28. Peenise number näitab ravimi võtmise päevade arvu ja 28 vastab tilkade arvule, mida patsient peakskasutada viimasel päeval. Kas see jada koondub? Ei, sest hoolimata asjaolust, et see on piiratud 10-ga alt ja 28-ga ül alt, pole sellisel arvuseerial erinev alt eelmistest näidetest piiranguid.
Mis vahet on?
Püüdkem nüüd selgitada: millal osutub arvujada koonduvaks jadaks. Sedalaadi määratlus, nagu eeltoodust järeldada, on otseselt seotud lõpliku piiri mõistega, mille olemasolu paljastab probleemi olemuse. Mis on siis põhimõtteline erinevus eelnev alt toodud näidete vahel? Ja miks neist viimases ei saa arvu 28 pidada arvujada X =10 + 2(n-1) piiriks?
Selle küsimuse selgitamiseks kaaluge teist alloleva valemiga antud jada, kus n kuulub naturaalarvude hulka.
See liikmete kogukond on harilike murdude kogum, mille lugeja on 1 ja nimetaja kasvab pidev alt: 1, ½ …
Pealegi läheneb selle seeria iga järgnev esindaja järjest enam arvujoonel asukoha poolest 0. See tähendab, et tekib selline naabruskond, kus punktid koonduvad nulli ümber, mis on piir. Ja mida lähemale nad sellele on, seda tihedamaks muutub nende kontsentratsioon arvujoonel. Ja nende vaheline kaugus väheneb katastroofiliselt, muutudes ääretult väikeseks. See on märk sellest, et jada läheneb.
SarnaneSeega on joonisel kujutatud mitmevärvilised ristkülikud ruumis eemaldudes visuaalselt rahvarohkemad, hüpoteetilises piiris muutudes tühiseks.
Lõpmatult suured jadad
Pärast konvergentse jada definitsiooni analüüsimist liigume edasi vastunäidete juurde. Paljud neist on inimestele teada juba iidsetest aegadest. Divergentsete jadade lihtsaimad variandid on loomulike ja paarisarvude jada. Neid nimetatakse lõpmatult suurteks erineval viisil, kuna nende liikmed, pidev alt suurenedes, lähenevad üha enam positiivsele lõpmatusele.
Selle näiteks võib olla ka mis tahes aritmeetiline ja geomeetriline progressioon, mille samm ja nimetaja on vastav alt suuremad kui null. Lisaks peetakse arvulisi jadasid lahknevateks jadadeks, millel pole üldse piirangut. Näiteks X =(-2) -1.
Fibonacci jada
Varem mainitud numbriseeria praktiline kasu inimkonnale on vaieldamatu. Kuid on lugematu hulk muid suurepäraseid näiteid. Üks neist on Fibonacci jada. Iga selle liige, mis algab ühega, on eelmiste summa. Selle kaks esimest esindajat on 1 ja 1. Kolmas 1+1=2, neljas 1+2=3, viies 2+3=5. Edasi järgnevad sama loogika kohaselt numbrid 8, 13, 21 ja nii edasi.
See numbriseeria suureneb lõputult ja sellel pole ühtegilõplik piir. Kuid sellel on veel üks suurepärane omadus. Iga eelmise arvu ja järgmise arvu suhe läheneb oma väärtuselt järjest lähemale 0,618. Siit saate aru konvergentse ja lahkneva jada erinevusest, sest kui teha vastuvõetud osajaotuste jada, siis näidatud numbrisüsteem mille lõplik piir on võrdne 0,618.
Fibonacci suhtarvude järjestus
Eespool nimetatud numbriseeriaid kasutatakse laialdaselt praktilistel eesmärkidel turgude tehniliseks analüüsiks. Kuid see ei piirdu ainult selle võimalustega, mida egiptlased ja kreeklased teadsid ja suutsid iidsetel aegadel praktikas rakendada. Seda tõestavad nende ehitatud püramiidid ja Parthenon. Arv 0,618 on ju vanasti hästi tuntud kuldlõike konstantne koefitsient. Selle reegli kohaselt saab iga suvalise lõigu jagada nii, et selle osade suhe langeb kokku suurima lõigu ja kogupikkuse suhtega.
Koostagem näidatud seoste jada ja proovime seda jada analüüsida. Numbriseeria on järgmine: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0, 619 ja nii edasi. Nii jätkates saame veenduda, et koonduva jada piiriks on tõepoolest 0,618. Siiski on vaja märkida selle seaduspärasuse muid omadusi. Siin näivad numbrid minevat juhuslikult ja üldse mitte kasvavas või kahanevas järjekorras. See tähendab, et see koonduv jada ei ole monotoonne. Miks see nii on, seda arutatakse edasi.
Monotoonsus ja piirangud
Numbriseeria liikmed võivad arvu suurenedes selgelt väheneda (kui x1>x2>x3>…>x >…) või suurenemine (kui x1<x2163223<…<x <…). Sel juhul öeldakse, et jada on rangelt monotoonne. Täheldada võib ka muid mustreid, kus numbrilised jadad ei kahane ega suurene (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… või x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), siis on ka järjestikku koonduv monotoonne, ainult mitte kitsas tähenduses. Hea näide neist esimesest valikust on järgmise valemiga antud numbriseeria.
Pärast selle seeria numbrite maalimist näete, et ükski selle liige, mis läheneb lõputult 1-le, ei ületa seda väärtust kunagi. Sel juhul öeldakse, et koonduv jada on piiratud. See juhtub alati, kui on selline positiivne arv M, mis on alati suurem kui mis tahes seeria mooduli liige. Kui arvuseerial on monotoonsuse märke ja piirväärtus ning see koondub, siis on see tingimata sellise omadusega varustatud. Ja vastupidine ei pea olema tõsi. Seda tõendab koonduva jada piiritlemise teoreem.
Selliste tähelepanekute rakendamine praktikas on väga kasulik. Toome konkreetse näite, uurides jada X =omadusin/n+1 ja tõestada selle konvergentsi. On lihtne näidata, et see on monotoonne, kuna (x +1 – x) on positiivne arv mis tahes n väärtuse jaoks. Jada piirväärtus on võrdne arvuga 1, mis tähendab, et kõik ül altoodud teoreemi, mida nimetatakse ka Weierstrassi teoreemiks, tingimused on täidetud. Konvergentse jada piirituse teoreem ütleb, et kui sellel on piir, siis igal juhul osutub see piiratud. Võtame aga järgmise näite. Numbriseeria X =(-1) on altpoolt piiratud -1-ga ja ül alt 1-ga. Kuid see jada ei ole monotoonne, sellel pole piiri ja seetõttu ei koondu. See tähendab, et piirangu olemasolu ja lähenemine ei tulene alati piirangust. Et see toimiks, peavad alumine ja ülemine piir ühtima, nagu Fibonacci suhtarvude puhul.
Universumi arvud ja seadused
Konvergentse ja lahkneva jada lihtsaimad variandid on võib-olla arvjada X =n ja X =1/n. Esimene neist on loomulik arvude jada. See on, nagu juba mainitud, lõpmatult suur. Teine koonduv jada on piiratud ja selle liikmed on suurusjärgus lõpmatult väikesed. Kõik need valemid personifitseerivad mitmetahulise universumi ühte külge, aidates inimesel kujutleda ja arvutada midagi tundmatut, mis on arvude ja märkide keeles piiratud taju jaoks kättesaamatu.
Universumi seadused, mis ulatuvad tühisest kuni uskumatult suurteni, väljendavad samuti kuldset suhet 0,618. Teadlasednad usuvad, et see on asjade olemuse alus ja loodus kasutab seda oma osade moodustamiseks. Fibonacci seeria järgmise ja eelmiste liikmete vahelised suhted, mida me juba mainisime, ei lõpeta selle ainulaadse seeria hämmastavate omaduste demonstreerimist. Kui arvestada eelmise liikme jagatise järgmisega ühega, saame rea 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382 ja nii edasi. Huvitav on see, et see piiratud jada koondub, see ei ole monotoonne, kuid teatud liikmest äärmuslike naaberarvude suhe on alati ligikaudu 0,382, mida saab kasutada ka arhitektuuris, tehnilises analüüsis ja muudes tööstusharudes.
Fibonacci seeria huvitavaid koefitsiente on teisigi, need kõik mängivad looduses erilist rolli ja neid kasutab ka inimene praktilistel eesmärkidel. Matemaatikud on kindlad, et universum areneb teatud "kuldse spiraali" järgi, mis on moodustatud näidatud koefitsientidest. Nende abil on võimalik välja arvutada palju Maal ja kosmoses toimuvaid nähtusi alates teatud bakterite arvu kasvust kuni kaugete komeetide liikumiseni. Nagu selgub, järgib DNA kood sarnaseid seadusi.
Kahanev geomeetriline progressioon
On olemas teoreem, mis kinnitab koonduva jada piiri ainulaadsust. See tähendab, et sellel ei saa olla kahte või enamat piirangut, mis on kahtlemata oluline selle matemaatiliste karakteristikute leidmiseks.
Vaatame mõndajuhtudel. Iga aritmeetilise progressiooni liikmetest koosnev arvjada on lahknev, välja arvatud nullastmega juhtum. Sama kehtib ka geomeetrilise progressiooni kohta, mille nimetaja on suurem kui 1. Selliste arvjadade piirid on lõpmatuse "pluss" või "miinus". Kui nimetaja on väiksem kui -1, siis pole piirangut üldse. Võimalikud on ka muud valikud.
Võtke arvesse valemiga antud arvuseeriaid X =(1/4) -1. Esmapilgul on lihtne näha, et see koonduv jada on piiratud, kuna see on rangelt kahanev ega suuda mingil juhul võtta negatiivseid väärtusi.
Kirjutame rida selle liikmeid.
Selgub: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625 ja nii edasi. Piisab üsna lihtsatest arvutustest, et mõista, kui kiiresti see geomeetriline progressioon nimetajatest 0<q<1 väheneb. Kui terminite nimetaja suureneb lõputult, muutuvad nad ise lõpmatult väikeseks. See tähendab, et arvuseeria piirang on 0. See näide demonstreerib veel kord koonduva jada piiratud olemust.
Fundamentaalsed järjestused
Prantsuse teadlane Augustin Louis Cauchy paljastas maailmale palju matemaatilise analüüsiga seotud töid. Ta andis definitsioonid sellistele mõistetele nagu diferentsiaal, integraal, piir ja pidevus. Samuti uuris ta konvergentsete jadade põhiomadusi. Et mõista tema ideede olemust,mõned olulised üksikasjad tuleb kokku võtta.
Artikli alguses näidati, et on selliseid jadasid, mille jaoks on naabrus, kus teatud rea liikmeid esindavad punktid reaaljoonel hakkavad koonduma, reastudes järjest rohkem. tihed alt. Samal ajal väheneb nendevaheline kaugus järgmise esindaja arvu suurenedes, muutudes lõpmatult väikeseks. Seega selgub, et antud naabruses on rühmitatud lõpmatu arv antud seeria esindajaid, samas kui väljaspool seda on neid lõplik arv. Selliseid jadasid nimetatakse fundamentaalseteks.
Prantsuse matemaatiku loodud kuulus Cauchy kriteerium näitab selgelt, et sellise omaduse olemasolu on piisav, et tõestada jada koondumist. Tõsi on ka vastupidine.
Tuleb märkida, et see prantsuse matemaatiku järeldus on enamasti puht alt teoreetilise huviga. Selle rakendamist praktikas peetakse üsna keeruliseks asjaks, mistõttu on ridade konvergentsi selgitamiseks palju olulisem tõestada jada lõpliku piiri olemasolu. Vastasel juhul peetakse seda lahknevaks.
Ülesannete lahendamisel tuleks arvestada ka konvergentsete jadade põhiomadustega. Need on näidatud allpool.
Lõpmatud summad
Sellised kuulsad antiikateadlased nagu Archimedes, Euclid, Eudoxus kasutasid kõverate pikkuste ja kehade ruumalade arvutamiseks lõpmatute arvuridade summasidja kujundite alad. Eelkõige oli sel viisil võimalik välja selgitada paraboolse segmendi pindala. Selleks kasutati geomeetrilise progressiooni arvridade summat q=1/4. Sarnaselt leiti ka teiste suvaliste kujundite mahud ja pindalad. Seda võimalust nimetati "kurnatuse" meetodiks. Idee seisnes selles, et uuritav keeruka kujuga keha jagati osadeks, milleks olid kergesti mõõdetavate parameetritega kujundid. Sel põhjusel polnud nende pindalade ja mahtude arvutamine keeruline ning seejärel liideti need kokku.
Muide, sarnased ülesanded on tänapäeva koolilastele väga tuttavad ja neid leidub USE ülesannetes. Ainulaadne meetod, mille leidsid kauged esivanemad, on kõige lihtsam lahendus. Isegi kui arvuline arv on jagatud ainult kaheks või kolmeks osaks, on nende pindalade liitmine ikkagi arvuseeria summa.
Palju hiljem kui Vana-Kreeka teadlased Leibniz ja Newton õppisid oma tarkade eelkäijate kogemustele tuginedes integraalarvutuse mustreid selgeks. Jadade omaduste tundmine aitas neil lahendada diferentsiaal- ja algebralisi võrrandeid. Praegu annab paljude põlvkondade andekate teadlaste jõupingutustega loodud seeriateooria võimaluse lahendada tohutul hulgal matemaatilisi ja praktilisi probleeme. Ja arvjadade uurimine on olnud peamine matemaatilise analüüsiga lahendatud probleem selle algusest peale.
