Polüeedrid ei ole mitte ainult geomeetrias silmapaistval kohal, vaid esinevad ka iga inimese igapäevaelus. Rääkimata kunstlikult loodud majapidamistarvetest erinevate hulknurkade kujul, alustades tikutoosist ja lõpetades arhitektuursete elementidega, kuubiku (soola), prisma (kristalli), püramiidi (scheeliit), oktaeedri (teemant) kujul olevatest kristallidest, jne e.
Polüheedri mõiste, hulktahukate tüübid geomeetrias
Geomeetria kui teadus sisaldab stereomeetria osa, mis uurib kolmemõõtmeliste kujundite omadusi ja omadusi. Geomeetrilisi kehasid, mille küljed kolmemõõtmelises ruumis moodustavad piiratud tasapinnad (pinnad), nimetatakse "polüeedriks". Mitmetahuliste tüüpide hulka kuulub üle tosina esindaja, mis erinevad nägude arvu ja kuju poolest.
Samas on kõigil hulktahukatel ühised omadused:
- Neil kõigil on 3 olulist komponenti: nägu(hulknurga pind), tipp (tahkude ristumiskohas moodustatud nurgad), serv (kujundi või lõigu külg, mis on moodustatud kahe tahu ristumiskohas).
- Iga hulknurga serv ühendab kahte ja ainult kahte üksteisega külgnevat tahku.
- Kumerus tähendab, et keha paikneb täielikult ainult ühel pool tasapinda, millel asub üks nägudest. Reegel kehtib hulktahuka kõikide tahkude kohta. Selliseid geomeetrilisi kujundeid stereomeetrias nimetatakse kumerateks hulktahukateks. Erandiks on tähekujulised hulktahukad, mis on korrapäraste hulktahuliste geomeetriliste tahkete ainete tuletised.
Polüeedrid võib tinglikult jagada:
- Kumerate hulktahukate tüübid, mis koosnevad järgmistest klassidest: tavaline või klassikaline (prisma, püramiid, rööptahukas), korrapärane (nimetatakse ka platoonilisteks tahkideks), poolregulaarne (teine nimi – Archimedese tahked).
- Mittekumerad hulktahukad (tähekujulised).
Prisma ja selle omadused
Stereomeetria kui geomeetria haru uurib ruumiliste kujundite omadusi, hulktahukate tüüpe (üks neist on prisma). Prisma on geomeetriline keha, millel on tingimata kaks absoluutselt identset tahku (neid nimetatakse ka alusteks), mis asetsevad paralleelsetes tasandites, ja n-s arv külgpindu rööpkülikukujulistena. Prismal on omakorda ka mitut sorti, sealhulgas selliseid hulktahukaid tüüpe nagu:
- Paralleleppiped – moodustatakse, kui alus on rööpkülik –hulknurk, millel on 2 paari võrdseid vastandnurki ja 2 paari ühtseid vastaskülgi.
- Sirge prisma servad on alusega risti.
- Kaldunud prismat iseloomustavad mittetäisnurgad (muud kui 90) tahkude ja aluse vahel.
- Regulaarset prismat iseloomustavad alused korrapärase hulknurga kujul, millel on võrdsed külgpinnad.
Prisma põhiomadused:
- Kongruentsed alused.
- Kõik prisma servad on võrdsed ja üksteisega paralleelsed.
- Kõik külgpinnad on rööpkülikukujulised.
Püramiid
Püramiid on geomeetriline keha, mis koosneb ühest alusest ja n-ndast arvust kolmnurksetest tahkudest, mis on ühendatud ühes punktis – tipus. Tuleb märkida, et kui püramiidi külgpinnad on tingimata tähistatud kolmnurkadega, võib alus olla kas kolmnurkne hulknurk, nelinurk või viisnurk ja nii edasi lõpmatuseni. Sel juhul vastab püramiidi nimi põhjas olevale hulknurgale. Näiteks kui kolmnurk asub püramiidi põhjas, on see kolmnurkpüramiid, nelinurk nelinurkne jne.
Püramiidid on koonusekujulised hulktahukad. Selle rühma hulktahukate tüüpide hulka kuuluvad lisaks ülalloetletutele ka järgmised esindajad:
- Tavalise püramiidi põhjas on korrapärane hulknurk ja selle kõrgus on projitseeritud keskeleringi, mis on kirjutatud alusele või ümbritsetud selle ümber.
- Ristkülikukujuline püramiid tekib siis, kui üks külgservadest lõikub alusega täisnurga all. Sel juhul on õiglane nimetada seda serva ka püramiidi kõrguseks.
Püramiidi omadused:
- Kui püramiidi kõik külgservad on ühtsed (sama kõrgusega), siis lõikuvad nad kõik alusega sama nurga all ja ümber aluse saab joonistada ringi, mille keskpunkt langeb kokku püramiidi projektsiooniga. püramiidi tipp.
- Kui püramiidi põhi on korrapärane hulknurk, siis on kõik külgservad ühtsed ja tahud on võrdhaarsed kolmnurgad.
Tavaline hulktahukas: hulktahukate tüübid ja omadused
Stereomeetrias on erilisel kohal absoluutselt võrdsete tahkudega geomeetrilised kehad, mille tippudes on ühendatud sama arv servi. Neid tahkeid aineid nimetatakse platoonilisteks tahkideks või tavalisteks hulktahukateks. Selliste omadustega hulktahukatel tüüpidel on ainult viis kuju:
- Tetraeeder.
- Hexahedron.
- Octahedron.
- Dodekaeeder.
- Icosahedron.
Regulaarsed hulktahukad võlgnevad oma nime Vana-Kreeka filosoofile Platonile, kes kirjeldas neid geomeetrilisi kehasid oma kirjutistes ja ühendas need looduslike elementidega: maa, vesi, tuli, õhk. Viies kuju pälvis sarnasuse universumi struktuuriga. Tema arvates meenutavad looduslike elementide aatomid kujult tavaliste hulktahukate tüüpe. Oma põnevaima omaduse tõttu -sümmeetria tõttu pakkusid need geomeetrilised kehad suurt huvi mitte ainult iidsetele matemaatikutele ja filosoofidele, vaid ka kõigi aegade arhitektidele, kunstnikele ja skulptoritele. Vaid 5 tüüpi absoluutse sümmeetriaga polüeedri olemasolu peeti fundamentaalseks avastuseks, neile omistati isegi seos jumaliku printsiibiga.
Kuueeder ja selle omadused
Kuusnurga kujul eeldasid Platoni järglased sarnasust Maa aatomite struktuuriga. Muidugi on praegu see hüpotees täielikult ümber lükatud, mis aga ei takista kujudel oma esteetikaga kaasajal kuulsate tegelaste meeli köita.
Geomeetrias peetakse heksaeedrit, tuntud ka kui kuubikut, rööptahuka erijuhuks, mis omakorda on omamoodi prisma. Vastav alt sellele on kuubi omadused seotud prisma omadustega, ainsa erinevusega, et kõik kuubi tahud ja nurgad on üksteisega võrdsed. Sellest tulenevad järgmised omadused:
- Kõik kuubi servad on kongruentsed ja asetsevad üksteise suhtes paralleelsetel tasapindadel.
- Kõik tahud on kongruentsed ruudud (kuubis on kokku 6), millest igaüks võib olla aluseks.
- Kõik liidese nurgad on 90.
- Igast tipust väljub võrdne arv servi, nimelt 3.
- Kuubil on 9 sümmeetriatelge, mis kõik ristuvad kuuseedri diagonaalide lõikepunktis, mida nimetatakse sümmeetriakeskmeks.
Tetrahedron
Tetraeeder on võrdsete tahkudega tetraeeder kolmnurkade kujul, mille iga tippon kolme tahu ristumispunkt.
Regulaarse tetraeedri omadused:
- Kõik tetraeedri tahud on võrdkülgsed kolmnurgad, mis tähendab, et tetraeedri kõik tahud on kongruentsed.
- Kuna alust kujutab tavaline geomeetriline kujund, see tähendab, et sellel on võrdsed küljed, koonduvad tetraeedri küljed sama nurga all, see tähendab, et kõik nurgad on võrdsed.
- Lamedate nurkade summa igas tipus on 180, kuna kõik nurgad on võrdsed, siis on tavalise tetraeedri mis tahes nurk 60.
- Iga tipp projitseeritakse vastaskülje (ortotsentri) kõrguste lõikepunkti.
Oktaeeder ja selle omadused
Korrapärase hulktahukate tüüpe kirjeldades ei saa jätta märkimata sellist objekti nagu oktaeedr, mida saab visuaalselt kujutada kahe nelinurkse korrapärase püramiidina, mis on alustega kokku liimitud.
Oktaeedri omadused:
- Gomeetrilise keha nimi viitab selle tahkude arvule. Oktaeeder koosneb 8 kongruentsest võrdkülgsest kolmnurgast, mille igas tipus koondub võrdne arv tahke, nimelt 4.
- Kuna oktaeedri kõik tahud on võrdsed, on ka tema liidesenurgad võrdsed, millest igaüks on 60, ja mis tahes tipu tasapinna nurkade summa on seega 240.
Dodekaeedron
Kui kujutame ette, et geomeetrilise keha kõik tahud on korrapärased viisnurgad, saame dodekaeedri -12 hulknurga kujund.
Dodekaeedri omadused:
- Kolm tahku lõikuvad igas tipus.
- Kõik tahud on võrdsed ning neil on sama servapikkus ja võrdne pindala.
- Dodekaeedril on 15 telge ja sümmeetriatasapinda ning igaüks neist läbib näo tipu ja vastasserva keskosa.
Icosahedron
Mitte vähem huvitav kui dodekaeedr, ikosaeedri kujund on kolmemõõtmeline geomeetriline keha, millel on 20 võrdset tahku. Tavalise kahekümneeedri omaduste hulgas võib märkida järgmist:
- Ikosaeedri kõik tahud on võrdhaarsed kolmnurgad.
- Viis tahku koonduvad polühedri igas tipus ja tipu külgnevate nurkade summa on 300.
- Ikosaeedril, nagu ka dodekaeedril, on 15 telge ja sümmeetriatasapinda, mis läbivad vastaskülgede keskpunkte.
Poolregulaarsed hulknurgad
Platoonilise tahkise kõrval kuuluvad kumerate hulktahukate rühma ka Archimedese tahkised, mis on kärbitud korrapärased hulktahukad. Selle rühma hulktahukatel tüüpidel on järgmised omadused:
- Geomeetrilistel kehadel on mitut tüüpi paarikaupa võrdsed tahud, näiteks kärbitud tetraeedril on nagu tavalisel tetraeedril 8 tahku, kuid Archimedese tahkise puhul on neli tahku kolmnurksed ja 4 kuusnurksed.
- Kõik ühe tipu nurgad on kongruentsed.
Star polyhedra
Mittemahuliste geomeetriliste kehade tüüpide esindajad on tähtkujulised hulktahukad, mille näod ristuvad üksteisega. Neid saab moodustada kahe tavalise 3D-keha liitmisel või nende esikülgede pikendamisel.
Seega on sellised tähekujulised hulktahukad tuntud kui: oktaeedri, dodekaeedri, ikosaeedri, kuboktaeedri, ikosododekaeedri tähtkujulised vormid.
