Momentide võrrand: jõumomendid, impulss ja inerts

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-12-17 05:24

Kui klassikalises mehaanikas kirjeldatakse kehade lineaarset liikumist Newtoni seaduste abil, siis mehaaniliste süsteemide ringtrajektoore mööda liikumise karakteristikud arvutatakse spetsiaalse avaldise abil, mida nimetatakse momentide võrrandiks. Millistest hetkedest me räägime ja mis on selle võrrandi tähendus? Need ja muud küsimused on esitatud artiklis.

Jõu hetk

Kõik on hästi teadlikud Newtoni jõust, mis kehale mõjudes annab sellele kiirenduse. Kui sellist jõudu rakendatakse objektile, mis on fikseeritud teatud pöörlemisteljele, nimetatakse seda karakteristikku tavaliselt jõumomendiks. Jõumomendi võrrandi saab kirjutada järgmiselt:

M¯=L¯F¯

Seda väljendit selgitav pilt on näidatud allpool.

Siin on näha, et jõud F¯ on suunatud vektorile L¯ nurga Φ. Eeldatakse, et vektor L¯ on suunatud pöörlemisteljelt (näidatud noolega) rakenduspunktiF¯.

Ül altoodud valem on kahe vektori korrutis, seega on ka M¯ suunaline. Kuhu pööratakse jõumomenti M¯? Seda saab määrata parema käe reegliga (neli sõrme on suunatud piki trajektoori vektori L¯ lõpust F¯ lõpuni ja vasak pöial näitab M¯ suunda).

Ül altoodud joonisel on jõumomendi skalaarkujuline avaldis järgmiselt:

M=LFsin(Φ)

Kui vaatate joonist tähelepanelikult, näete, et Lsin(Φ)=d, siis on meil valem:

M=dF

D väärtus on jõumomendi arvutamisel oluline tunnus, kuna see peegeldab süsteemile rakendatud F efektiivsust. Seda väärtust nimetatakse jõu kangiks.

M-i füüsiline tähendus seisneb jõu võimes süsteemi pöörata. Igaüks tunneb seda võimet, kui ta avab ukse käepidemest, lükates seda hingede lähedale või kui proovib lühikese ja pika võtmega mutrit lahti keerata.

Süsteemi tasakaal

Jõumomendi mõiste on väga kasulik, kui arvestada süsteemi tasakaalu, millele mõjuvad mitmed jõud ja millel on telg või pöördepunkt. Sellistel juhtudel kasutage valemit:

∑_iM_i¯=0

See tähendab, et süsteem on tasakaalus, kui kõigi sellele rakendatavate jõudude momentide summa on null. Pange tähele, et selles valemis on hetkel vektormärk, see tähendab, et lahendamisel ei tohiks unustada selle märkikogused. Üldtunnustatud reegel on, et süsteemi vastupäeva pöörav mõjujõud loob positiivse M_i¯.

Sellist tüüpi probleemide ilmekaks näiteks on probleemid Archimedese hoobade tasakaaluga.

Hoohetk

See on ringliikumise teine oluline omadus. Füüsikas kirjeldatakse seda impulsi ja hoova korrutisena. Impulsi võrrand näeb välja selline:

T¯=r¯p¯

Siin p¯ on impulsi vektor, r¯ on vektor, mis ühendab pöörleva materjali punkti teljega.

Seda väljendit illustreerib allolev joonis.

Siin ω on nurkkiirus, mis kuvatakse hetke võrrandis edasi. Pange tähele, et vektori T¯ suund leitakse sama reegli järgi kui M¯. Ül altoodud joonisel langeb T¯ suunas kokku nurkkiiruse vektoriga ω¯.

T¯ füüsikaline tähendus on sama, mis p¯ karakteristikud lineaarse liikumise korral, st nurkimpulss kirjeldab pöörleva liikumise suurust (salvestatud kineetiline energia).

Inertsimoment

Kolmas oluline tunnus, ilma milleta on võimatu sõnastada pöörleva objekti liikumisvõrrandit, on inertsimoment. See ilmneb füüsikas materiaalse punkti nurkimpulsi valemi matemaatiliste teisenduste tulemusena. Näitame teile, kuidas seda tehakse.

Kujutame ette väärtustT¯ järgmiselt:

T¯=r¯mv¯, kus p¯=mv¯

Kasutades nurk- ja lineaarkiiruste vahelist seost, saame selle avaldise ümber kirjutada järgmiselt:

T¯=r¯mr¯ω¯, kus v¯=r¯ω¯

Kirjutage viimane avaldis järgmiselt:

T¯=r²mω¯

Väärtus r²m on inertsimoment I massipunktis m, mis teeb ringikujulise liikumise ümber telje, mis asub sellest kaugusel r. See erijuhtum võimaldab meil kehtestada suvalise kujuga keha inertsmomendi üldvõrrandi:

I=∫_m (r²dm)

I on aditiivne suurus, mille tähendus seisneb pöörleva süsteemi inertsuses. Mida suurem I, seda keerulisem on keha keerutada ja selle peatamiseks kulub palju pingutusi.

Hetke võrrand

Oleme kaalunud kolme suurust, mille nimi algab sõnaga "hetk". Seda tehti tahtlikult, kuna need kõik on ühendatud ühes avaldises, mida nimetatakse 3-momendi võrrandiks. Teeme selle välja.

Kaaluge nurkmomendi avaldist T¯:

T¯=Iω¯

Leidke, kuidas T¯ väärtus ajas muutub, meil on:

dT¯/dt=Idω¯/dt

Arvestades, et nurkkiiruse tuletis on võrdne lineaarkiiruse tuletisega jagatud r-ga, ja laiendades I väärtust, saame avaldise:

dT¯/dt=mr²1/rdv¯/dt=rma¯, kus a¯=dv¯/dt on lineaarne kiirendus.

Pange tähele, et massi ja kiirenduse korrutis pole midagi muud kui mõjuv välisjõud F¯. Selle tulemusena saame:

dT¯/dt=rF¯=M¯

Jõudsime huvitavale järeldusele: nurkimpulsi muutus on võrdne mõjuva välisjõu momendiga. See väljend kirjutatakse tavaliselt veidi erineval kujul:

M¯=Iα¯, kus α¯=dω¯/dt – nurkiirendus.

Seda võrdsust nimetatakse hetkede võrrandiks. See võimaldab teil arvutada pöörleva keha mis tahes omadusi, teades süsteemi parameetreid ja sellele avalduva välismõju suurust.

Kaitseseadus T¯

Eelmises lõigus tehtud järeldus näitab, et kui jõudude välismoment on võrdne nulliga, siis nurkimment ei muutu. Sel juhul kirjutame avaldise:

T¯=konst. või I₁ω₁¯=I₂ω_{2 ¯}

Seda valemit nimetatakse T¯ jäävuse seaduseks. See tähendab, et kõik süsteemisisesed muudatused ei muuda kogu nurkmomenti.

Seda fakti kasutavad iluuisutajad ja baleriinid oma esinemiste ajal. Seda kasutatakse ka siis, kui on vaja pöörata kosmoses liikuvat tehissatelliiti ümber oma telje.