Matemaatikas ja töötluses on analüütilise signaali (lühendatult C, AC) mõiste keeruline funktsioon, millel ei ole negatiivseid sageduskomponente. Selle nähtuse tegelik ja kujuteldav osa on reaalsed funktsioonid, mis on omavahel seotud Hilberti teisendusega. Analüütiline signaal on keemias üsna tavaline nähtus, mille olemus on sarnane selle mõiste matemaatilise määratlusega.
Esinemised
Reaalfunktsiooni analüütiline esitus on analüütiline signaal, mis sisaldab algset funktsiooni ja selle Hilberti teisendust. See esitus hõlbustab paljusid matemaatilisi manipuleerimisi. Põhiidee seisneb selles, et reaalse funktsiooni Fourier' teisenduse (või spektri) negatiivsed sageduskomponendid on sellise spektri hermiitliku sümmeetria tõttu üleliigsed. Need negatiivse sagedusega komponendid saab ära visatateabe kadu, eeldusel, et soovite selle asemel tegeleda keeruka funktsiooniga. See muudab teatud funktsiooniatribuudid juurdepääsetavamaks ning hõlbustab modulatsiooni- ja demodulatsioonitehnikate (nt SSB) tuletamist.
Negatiivsed komponendid
Kuni manipuleeritaval funktsioonil ei ole negatiivseid sageduskomponente (st see on endiselt analüütiline), on kompleksist tagasi reaalseks teisendamine lihts alt kujuteldavast osast loobumise küsimus. Analüütiline esitus on vektori kontseptsiooni üldistus: kui vektor on piiratud ajas muutumatu amplituudi, faasi ja sagedusega, siis analüütilise signaali kvalitatiivne analüüs võimaldab ajas muutuvaid parameetreid.
Mõnedes rakendustes kasutatakse C kohalike tunnuste mõõtmiseks ja tuvastamiseks hetkelist amplituudi, hetkefaasi ja sagedust. Teine analüütilise esituse rakendus on seotud moduleeritud signaalide demoduleerimisega. Polaarkoordinaadid eraldavad mugav alt AM-i ja faasi- (või sagedus-) modulatsiooni mõjud ning demoduleerivad tõhus alt teatud tüüpi.
Siis võib lihtne, tegelike koefitsientidega madalpääsfilter huvipakkuva osa ära lõigata. Teine motiiv on vähendada maksimaalset sagedust, mis vähendab mitte-aliase diskreetimissagedust. Sagedusnihe ei kahjusta esituse matemaatilist kasulikkust. Seega on allakonverteerimine selles mõttes ikkagi analüütiline. Küll aga reaalse esituse taastamineei ole enam lihtne tegeliku komponendi väljavõtmine. Nõutav võib olla üleskonverteerimine ja kui signaali diskreetne aeg on diskreetne, võib aliase vältimiseks olla vajalik ka interpoleerimine (ülesdiskreetmine).
Muutujad
Mõte on hästi määratletud ühe muutujaga nähtuste jaoks, mis on tavaliselt ajutised. Selline ajalisus ajab paljud algajad matemaatikud segadusse. Kahe või enama muutuja puhul saab analüütilist C-d defineerida erineval viisil ja allpool on esitatud kaks lähenemisviisi.
Selle nähtuse tegelik ja kujuteldav osa vastavad vektori väärtusega monogeense signaali kahele elemendile, nagu on defineeritud sarnaste ühe muutujaga nähtuste jaoks. Monogeenset saab aga lihtsal viisil laiendada suvalisele arvule muutujatele, luues (n + 1)-mõõtmelise vektorfunktsiooni n-muutuja signaalide jaoks.
Signaali teisendamine
Reaalse signaali saate teisendada analüütiliseks signaaliks, lisades imaginaarse (Q) komponendi, mis on reaalkomponendi Hilberti teisendus.
Muide, see pole selle digita altöötluses uus. Üks traditsioonilisi viise ühe külgriba (SSB) AM genereerimiseks, faasimismeetod, hõlmab signaalide loomist helisignaali Hilberti teisenduse genereerimisega analoogtakisti-kondensaatori võrgus. Kuna sellel on ainult positiivsed sagedused, on seda lihtne teisendada ainult ühe külgribaga moduleeritud RF-signaaliks.
Definitsioonivalemid
Analüütiline signaaliavaldis on ülemise kompleksse pooltasandi piiril defineeritud holomorfne kompleksfunktsioon. Ülemise pooltasandi piir langeb kokku juhuslikuga, seega C on antud kaardistuse fa: R → C. Alates eelmise sajandi keskpaigast, mil Denis Gabor tegi 1946. aastal ettepaneku kasutada seda nähtust konstantse amplituudi ja faasi uurimiseks., on signaal leidnud palju rakendusi. Rõhutati selle nähtuse eripära [Vak96], kus näidati, et amplituudi, faasi ja sageduse füüsikalistele tingimustele vastab ainult analüütilise signaali kvalitatiivne analüüs.
Viimased saavutused
Viimastel aastakümnetel on tuntud huvi signaalide uurimise vastu paljudes mõõtmetes, mis on ajendatud probleemidest, mis tekivad valdkondades alates pildi-/videotöötlusest kuni mitmemõõtmeliste võnkeprotsessideni füüsikas, nagu seismilised, elektromagnetilised ja gravitatsioonilained. Üldiselt on aktsepteeritud, et analüütilise C (kvalitatiivse analüüsi) õigeks üldistamiseks mitme mõõtme korral tuleb tugineda algebralisele konstruktsioonile, mis laiendab tavalisi kompleksarve mugav alt. Selliseid konstruktsioone nimetatakse tavaliselt hüperkompleksarvudeks [SKE].
Lõpuks peaks olema võimalik konstrueerida hüperkompleksne analüütiline signaal fh: Rd → S, kus on kujutatud mingi üldine hüperkompleksne algebraline süsteem, mis loomulikult laiendab kõiki vajalikke omadusi, et saada hetkeline amplituudi jafaas.
Uuring
Mitmed artiklid on pühendatud erinevatele küsimustele, mis on seotud hüperkompleksarvude süsteemi õige valikuga, hüperkompleksse Fourier' teisenduse ja murdosaliste Hilberti teisendustega hetkeamplituudi ja faasi uurimiseks. Suurem osa sellest tööst põhines erinevate ruumide omadustel, nagu Cd, kvaternioonid, Clearoni algebrad ja Cayley-Dixoni konstruktsioonid.
Järgmisena loetleme vaid mõned teosed, mis on pühendatud signaali uurimisele paljudes mõõtmetes. Meile teadaolev alt saadi esimesed tööd mitme muutuja meetodi kohta 1990. aastate alguses. Nende hulka kuuluvad Elli töö [Ell92] hüperkomplekssete teisenduste kohta; Bulowi töö analüütilise reaktsiooni (analüütilise signaali) meetodi üldistamisest paljudele mõõtmistele [BS01] ning Felsbergi ja Sommeri töö monogeensete signaalide kohta.
Edasised väljavaated
Arvatakse, et hüperkomplekssignaal laiendab kõiki kasulikke omadusi, mis meil 1D-juhtumi puhul on. Esiteks peame suutma mõõtmistele eraldada ja üldistada hetkelise amplituudi ja faasi. Teiseks, kompleksse analüütilise signaali Fourier' spektrit hoitakse ainult positiivsetel sagedustel, seega eeldame, et hüperkomplekssel Fourier' teisendusel on oma hüperväärtustatud spekter, mida säilitatakse ainult mõnes hüperkompleksruumi positiivses kvadrandis. Sest see on väga oluline.
Kolmandaks, keeruka kontseptsiooni konjugeeritud osadanalüütilisest signaalist on seotud Hilberti teisendusega ja võime eeldada, et hüperkompleksruumis olevad konjugeeritud komponendid peavad olema seotud ka mõne Hilberti teisenduse kombinatsiooniga. Ja lõpuks, tõepoolest, hüperkomplekssignaali tuleb defineerida kui mitme hüperkompleksse muutuja hüperkompleksse holomorfse funktsiooni laiendust, mis on määratletud mingi vormi piiril hüperkompleksruumis.
Me käsitleme neid probleeme järjestikuses järjekorras. Kõigepe alt vaatame Fourier' integraali valemit ja näitame, et Hilberti teisendus 1-D-ks on seotud muudetud Fourier' integraali valemiga. See asjaolu võimaldab meil määratleda hetkeamplituudi, faasi ja sageduse ilma hüperkompleksarvusüsteemide ja holomorfsete funktsioonideta.
Integraalide muutmine
Jätkame modifitseeritud Fourier' integraali valemi laiendamist mitmele mõõtmele ja määrame kindlaks kõik vajalikud faasinihkega komponendid, mida saame koguda hetkeamplituudiks ja faasiks. Teiseks pöördume küsimuse juurde mitme hüperkompleksse muutuja holomorfsete funktsioonide olemasolu kohta. Pärast [Sch93] selgub, et elliptiliste (e2i=−1) generaatorite komplektiga genereeritud kommutatiivne ja assotsiatiivne hüperkompleksalgebra on sobiv ruum hüperkompleksse analüütilise signaali elamiseks, nimetame sellist hüperkompleksalgebrat Schaeferi ruumiks ja tähistame sedaSd.
Seetõttu defineeritakse analüütiliste signaalide hüperkompleks kui holomorfne funktsioon polüketta piiril / tasapinna ülemisel poolel mingis hüperkompleksruumis, mida me nimetame üldiseks Schaefersi ruumiks ja tähistatakse Sd-ga. Seejärel jälgime Cauchy integraalvalemi kehtivust funktsioonide Sd → Sd jaoks, mis arvutatakse polüketta sees oleva hüperpinna kohal Sd-s ja tuletame vastavad murdosalised Hilberti teisendused, mis seostavad hüperkomplekskonjugaadi komponente. Lõpuks selgub, et Fourier' teisendust väärtustega Schaefersi ruumis toetatakse ainult mittenegatiivsetel sagedustel. Tänu sellele artiklile olete õppinud, mis on analüütiline signaal.
