Matemaatika kraadi mõistet tutvustatakse 7. klassis algebra tunnis. Ja tulevikus, kogu matemaatika õppimise jooksul, kasutatakse seda mõistet aktiivselt selle erinevates vormides. Kraadid on üsna keeruline teema, mis nõuab väärtuste meeldejätmist ning oskust õigesti ja kiiresti lugeda. Matemaatika kraadidega kiiremaks ja paremaks töötamiseks mõtlesid nad välja kraadi omadused. Need aitavad vähendada suuri arvutusi, teisendada tohutu näite mingil määral üheks arvuks. Omadusi pole nii palju ja neid kõiki on lihtne meeles pidada ja praktikas rakendada. Seetõttu käsitletakse artiklis kraadi peamisi omadusi ja ka seda, kus need kehtivad.
Kraadi omadused
Võtleme 12 kraadi omadust, sealhulgas samade alustega kraadide omadusi, ja anname iga omaduse kohta näite. Kõik need omadused aitavad teil kraadidega seotud probleeme kiiremini lahendada ja säästa teid arvukate arvutusvigade eest.
1. vara.
a0=1
Paljud unustavad selle vara sageli ära, tehke sedavead, esitades arvu nulli astmeni nullina.
2. vara.
a1=a
3. vara.
a am=a(n+m)
Peate meeles pidama, et seda omadust saab kasutada ainult arvude korrutamisel, summaga see ei tööta! Ja ärge unustage, et see ja järgmised omadused kehtivad ainult sama baasiga võimsuste kohta.
4. vara.
a/am=a(n-m)
Kui nimetajas olev arv tõstetakse negatiivse astmeni, siis lahutamisel võetakse nimetaja aste sulgudesse, et edasistes arvutustes märk õigesti asendada.
Omadus töötab ainult jagamisel, mitte lahutamisel!
5. vara.
(a)m=a(nm)
6. vara.
a-n=1/a
Seda omadust saab rakendada ka vastupidiselt. Ühik jagatud arvuga teatud määral on see arv negatiivse astmega.
7. vara.
(ab)m=am bm
Seda omadust ei saa rakendada summale ja erinevusele! Summa või erinevuse tõstmisel astmeni kasutatakse lühendatud korrutusvalemeid, mitte astme omadusi.
8. vara.
(a/b)=a/b
9. vara.
a½=√a
See omadus töötab mis tahes murdarvu korral, mille lugeja on võrdne ühega,valem on sama, ainult juure aste muutub sõltuv alt astme nimetajast.
Samuti kasutatakse seda omadust sageli vastupidiselt. Arvu mis tahes astme juurt saab esitada kui seda arvu, mis on jagatud juure astmega. See omadus on väga kasulik juhtudel, kui numbri juurt ei eraldata.
10. vara.
(√a)2=a
See omadus ei tööta ainult ruutjuurte ja teise astmega. Kui juure aste ja selle juure tõstmise aste on samad, on vastuseks radikaalne avaldis.
11. vara.
√a=a
Peate seda omadust lahendades õigeaegselt nägema, et säästa end tohutute arvutuste eest.
12. vara.
am/n=√am
Iga neist omadustest kohtab teid ülesannetes rohkem kui üks kord, selle võib esitada puhtal kujul või see võib nõuda mõningaid teisendusi ja muude valemite kasutamist. Seetõttu ei piisa õige lahenduse jaoks ainult omaduste teadmisest, tuleb harjutada ja ühendada ülejäänud matemaatikateadmised.
Kraadide ja nende omaduste kasutamine
Neid kasutatakse aktiivselt algebras ja geomeetrias. Eraldi oluline koht on matemaatika kraadidel. Nende abiga lahendatakse eksponentsiaalvõrrandeid ja võrratusi, samuti muudavad astmed sageli keerulisemaks teiste matemaatika osadega seotud võrrandid ja näited. Eksponentid aitavad vältida suuri ja pikki arvutusi, astendajaid on lihtsam vähendada ja arvutada. Aga sellekssuurte või suurte arvude võimsustega töötades peate teadma mitte ainult kraadi omadusi, vaid ka asjatundlikult töötama alustega, suutma neid oma ülesande hõlbustamiseks lagundada. Mugavuse huvides peaksite teadma ka astmeni tõstetud arvude tähendust. See vähendab teie lahendamisele kuluvat aega, kaotades vajaduse pikkade arvutuste järele.
Kraadi mõiste mängib logaritmides erilist rolli. Kuna logaritm on sisuliselt arvu võimsus.
Vähendatud korrutamisvalemid on veel üks näide võimsuste kasutamisest. Nad ei saa kasutada kraadide omadusi, need lagundatakse erireeglite järgi, kuid igas lühendatud korrutusvalemis on alati astmed.
Kraadi kasutatakse aktiivselt ka füüsikas ja arvutiteaduses. Kõik tõlked SI-süsteemi tehakse kraadide abil ning edaspidi rakendatakse ülesannete lahendamisel astme omadusi. Arvutiteaduses kasutatakse loendamise hõlbustamiseks ja arvude tajumise lihtsustamiseks aktiivselt kahe astmeid. Edasised arvutused mõõtühikute teisendamisel või ülesannete arvutamised, nagu füüsikas, toimuvad astme omaduste abil.
Kraadid on väga kasulikud ka astronoomias, kus harva näeb kraadi omaduste kasutamist, kuid kraade endid kasutatakse aktiivselt erinevate suuruste ja kauguste salvestamise lühendamiseks.
Kraadi kasutatakse ka igapäevaelus, pindalade, mahtude, vahemaade arvutamisel.
Kraadide abil kirjutatakse igas teadusvaldkonnas väga suuri ja väga väikseid koguseid.
Eksponentvõrrandid ja ebavõrdsused
Kraadiomadused hõivavad erilise koha just eksponentsiaalvõrrandites ja ebavõrdsuses. Need ülesanded on väga levinud nii koolikursustel kui ka eksamitel. Kõik need on lahendatud kraadi omaduste rakendamisega. Tundmatu on alati astmes endas, seetõttu pole kõiki omadusi teades sellist võrrandit ega võrratust raske lahendada.