Lihts alt ja lühid alt öeldes on ulatus väärtused, mida iga funktsioon võib võtta. Selle teema täielikuks uurimiseks peate järk-järgult lahti võtma järgmised punktid ja mõisted. Esiteks mõistame funktsiooni määratlust ja selle ilmumise ajalugu.
Mis on funktsioon
Kõik täppisteadused pakuvad meile palju näiteid, kus kõnealused muutujad mingil moel üksteisest sõltuvad. Näiteks aine tiheduse määrab täielikult selle mass ja maht. Ideaalse gaasi rõhk konstantse ruumala juures muutub sõltuv alt temperatuurist. Neid näiteid ühendab asjaolu, et kõigil valemitel on sõltuvused muutujate vahel, mida nimetatakse funktsionaalseteks.
Funktsioon on mõiste, mis väljendab ühe suuruse sõltuvust teisest. Sellel on vorm y=f(x), kus y on funktsiooni väärtus, mis sõltub x - argumendist. Seega võime öelda, et y on x väärtusest sõltuv muutuja. Väärtused, mida x võib koos võtta, onantud funktsiooni domeen (D(y) või D(f)) ja vastav alt y väärtused moodustavad funktsiooni väärtuste komplekti (E(f) või E(y)). On juhtumeid, kui funktsioon on antud mingi valemiga. Sel juhul koosneb definitsioonipiirkond selliste muutujate väärtusest, mille puhul valemiga tähistus on mõttekas.
Seal on sobivad või võrdsed omadused. Need on kaks funktsiooni, millel on võrdsed kehtivate väärtuste vahemikud, aga ka funktsiooni enda väärtused on kõigi samade argumentide puhul võrdsed.
Paljud täppisteaduste seadused on nimetatud sarnaselt tegelikele olukordadele. Selline huvitav fakt on ka matemaatilise funktsiooni kohta. On olemas teoreem funktsiooni piiri kohta, mis on "vajutatud" kahe teise sama piiriga funktsiooni vahele - kahe politseiniku kohta. Nad selgitavad seda nii: kuna kaks politseinikku viivad vangi nende vahele jäävasse kambrisse, on kurjategija sunnitud sinna minema ja tal pole lihts alt valikut.
Ajalooline funktsiooniviide
Funktsiooni mõiste ei saanud kohe lõplikuks ja täpseks, see on läbinud pika tee. Esiteks, Fermat' 17. sajandi lõpus avaldatud tasapinnaliste ja tahkete kohtade sissejuhatus ja uurimus väitis järgmist:
Kui lõppvõrrandis on kaks tundmatut, on ruumi.
Üldiselt räägib see töö funktsionaalsest sõltuvusest ja selle materiaalsest kuvandist (koht=joon).
Samuti uuris Rene Descartes oma teoses "Geomeetria" (1637) sirgeid võrrandite järgi umbes samal ajal, kus taas faktkahe suuruse sõltuvus üksteisest.
Juba mõiste "funktsioon" mainimine ilmus alles 17. sajandi lõpus Leibnizi juures, kuid mitte selle tänapäevases tõlgenduses. Oma teaduslikus töös leidis ta, et funktsioon on erinevad kõverjoonega seotud segmendid.
Aga juba 18. sajandil hakati funktsiooni õigemini defineerima. Bernoulli kirjutas järgmise:
Funktsioon on väärtus, mis koosneb muutujast ja konstandist.
Euleri mõtted olid samuti sellele lähedal:
Muutuva koguse funktsioon on analüütiline avaldis, mis koosneb mingil viisil sellest muutuvast suurusest ja arvudest või konstantsetest suurustest.
Kui mõned suurused sõltuvad teistest nii, et viimaste muutumisel muutuvad nad ise, siis esimesi nimetatakse viimaste funktsioonideks.
Funktsioonigraafik
Funktsiooni graafik koosneb kõigist koordinaattasandi telgedesse kuuluvatest punktidest, mille abstsissid võtavad argumendi väärtused ja funktsiooni väärtused nendes punktides on ordinaadid.
Funktsiooni ulatus on otseselt seotud selle graafikuga, sest kui mõni abstsiss on kehtivate väärtuste vahemikust välja jäetud, siis tuleb joonistada graafikule tühjad punktid või joonistada graafik teatud piirides. Näiteks kui võtta graafik kujul y=tgx, siis jääb definitsioonialast välja väärtus x=pi / 2 + pin, n∉R, puutuja graafiku puhul tuleb joonistaday-teljega paralleelsed vertikaaljooned (neid nimetatakse asümptootideks), mis läbivad punkte ±pi/2.
Iga põhjalik ja hoolikas funktsioonide uurimine moodustab suure matemaatika haru, mida nimetatakse arvutuseks. Elementaarmatemaatikas käsitletakse ka funktsioonide elementaarseid küsimusi, näiteks lihtsa graafiku koostamist ja funktsiooni mõningate põhiomaduste määramist.
Millist funktsiooni saab seadistada
Funktsioon saab:
- ole valem, näiteks: y=cos x;
- määratud mis tahes vormipaaride tabeliga (x; y);
- omake kohe graafilist vaadet, selleks tuleb koordinaatide telgedel kuvada vormi eelmise üksuse (x; y) paarid.
Olge mõnede kõrgetasemeliste ülesannete lahendamisel ettevaatlik, peaaegu iga avaldist võib pidada funktsiooniks mõne funktsiooni y (x) väärtuse argumendi suhtes. Lahenduse võtmeks võib olla selliste ülesannete määratluspiirkonna leidmine.
Mille jaoks see maht on?
Esimene asi, mida peate funktsiooni uurimiseks või koostamiseks teadma, on selle ulatus. Graafik peaks sisaldama ainult neid punkte, kus funktsioon võib eksisteerida. Definitsiooni domeenile (x) võib viidata ka kui aktsepteeritavate väärtuste domeenile (lühendatult ODZ).
Funktsioonide graafiku õigeks ja kiireks koostamiseks peate teadma selle funktsiooni valdkonda, kuna sellest sõltuvad graafiku välimus ja täpsusEhitus. Näiteks funktsiooni y=√x konstrueerimiseks peate teadma, et x saab võtta ainult positiivseid väärtusi. Seetõttu ehitatakse see ainult esimesse koordinaatkvadrandisse.
Definitsiooni ulatus elementaarfunktsioonide näitel
Matemaatika oma arsenalis on väike hulk lihtsaid määratletud funktsioone. Neil on piiratud ulatus. Selle probleemi lahendamine ei tekita raskusi isegi siis, kui teie ees on nn keeruline funktsioon. See on vaid kombinatsioon mitmest lihtsast.
- Seega, funktsioon võib olla murdosa, näiteks: f(x)=1/x. Seega on muutuja (meie argument) nimetajas ja kõik teavad, et murdosa nimetaja ei saa olla võrdne 0-ga, seetõttu võib argument võtta mis tahes väärtuse, välja arvatud 0. Tähistus näeb välja selline: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Kui nimetajas on mõni muutujaga avaldis, peate lahendama x võrrandi ja välistama väärtused, mis muudavad nimetaja 0-ks. Skemaatilise esituse jaoks piisab 5 hästi valitud punktist. Selle funktsiooni graafik on hüperbool, mille vertikaalne asümptoot läbib punkti (0; 0) ja kombinatsioonis Ox ja Oy telgesid. Kui graafiline pilt lõikub asümptootidega, loetakse selline viga kõige jämemaks.
- Aga mis on juure domeen? Ka muutujat sisaldava radikaalavaldisega funktsiooni domeenil (f(x)=√(2x + 5) on omad nüansid (kehtib ainult paarisastme juure kohta). Naguaritmeetiline juur on positiivne avaldis või võrdne 0-ga, siis peab juuravaldis olema suurem või võrdne 0-ga, lahendame järgmise võrratuse: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, seega selle domeen funktsioon: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). Graafik on üks 90 kraadi võrra pööratud parabooli harudest, mis asub esimeses koordinaatkvadrandis.
- Kui tegemist on logaritmilise funktsiooniga, siis tuleb meeles pidada, et logaritmi aluse ja logaritmi märgi all oleva avaldise osas on piirang, sellisel juhul leiad definitsioonipiirkonna kui järgneb. Meil on funktsioon: y=loga(x + 7), lahendame ebavõrdsuse: x + 7 > 0, x > -7. Siis on selle funktsiooni domeen D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- Pöörake tähelepanu ka trigonomeetrilistele funktsioonidele kujul y=tgx ja y=ctgx, kuna y=tgx=sinx/cos/x ja y=ctgx=cosx/sinx, seetõttu peate väärtused välistama. mille juures nimetaja võib olla võrdne nulliga. Kui olete tuttav trigonomeetriliste funktsioonide graafikutega, on nende valdkonna mõistmine lihtne ülesanne.
Kuidas keerukate funktsioonidega töötamine on erinev
Pidage meeles mõnda põhireeglit. Kui töötame keerulise funktsiooniga, siis pole vaja midagi lahendada, lihtsustada, lisada murde, taandada väikseima ühisnimetajani ja välja võtta juuri. Peame seda funktsiooni uurima, sest erinevad (isegi identsed) toimingud võivad funktsiooni ulatust muuta, mille tulemuseks on vale vastus.
Näiteks on meil kompleksfunktsioon: y=(x2 - 4)/(x - 2). Murru lugejat ja nimetajat ei saa taandada, kuna see on võimalik ainult siis, kui x ≠ 2 ja see on funktsiooni domeeni leidmise ülesanne, seega me lugejat ei faktorista ega lahenda ühtegi võrratust, kuna palja silmaga nähtav väärtus, mille juures funktsiooni ei eksisteeri. Sel juhul ei saa x võtta väärtust 2, kuna nimetaja ei saa minna 0-ni, näeb tähistus välja selline: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Vastastikused funktsioonid
Alustuseks tasub öelda, et funktsioon võib muutuda pöörduvaks ainult suurendamise või vähendamise intervalli korral. Pöördfunktsiooni leidmiseks peate tähistuses vahetama x ja y ning lahendama x võrrandi. Määratlus- ja väärtusdomeenid on lihts alt ümber pööratud.
Pööravuse põhitingimus on funktsiooni monotoonne intervall, kui funktsioonil on suurenemise ja kahanemise intervallid, siis on võimalik koostada suvalise intervalli pöördfunktsioon (kasvav või kahanev).
Näiteks eksponentsiaalfunktsiooni y=expöördarvuks on naturaallogaritmiline funktsioon y=logea=lna. Trigonomeetria puhul on need funktsioonid eesliitega arc-: y=sinx ja y=arcsinx ja nii edasi. Graafikud paigutatakse sümmeetriliselt mõne telje või asümptootide suhtes.
Järeldused
Vastuvõetavate väärtuste vahemiku otsimine taandub funktsioonide graafiku uurimisele (kui see on olemas),vajaliku spetsiifilise ebavõrdsuse süsteemi registreerimine ja lahendamine.
See artikkel aitas teil mõista, milleks funktsiooni ulatus on ja kuidas seda leida. Loodame, et see aitab teil põhikoolikursust hästi mõista.
