Georg Kantor (foto on toodud artiklis hiljem) on saksa matemaatik, kes lõi hulgateooria ja võttis kasutusele piiriüleste arvude mõiste, mis on lõpmatult suured, kuid erinevad üksteisest. Ta määratles ka järg- ja kardinaalarvud ning lõi nende aritmeetika.
Georg Kantor: lühike elulugu
Sündis Peterburis 03.03.1845. Tema isa oli protestantlikku usku taanlane Georg-Valdemar Kantor, kes tegeles kaubandusega, sealhulgas börsil. Tema ema Maria Bem oli katoliiklane ja pärit silmapaistvate muusikute perekonnast. Kui Georgi isa 1856. aastal haigestus, kolis pere esm alt Wiesbadenisse ja seejärel Frankfurti, et leida pehmemat kliimat. Poisi matemaatilised anded ilmnesid juba enne 15. sünnipäeva, kui ta õppis Darmstadti ja Wiesbadeni erakoolides ja gümnaasiumides. Lõpuks veenis Georg Cantor oma isa kindlas kavatsuses saada matemaatikuks, mitte inseneriks.
Pärast lühikest õppimist Zürichi ülikoolis siirdus Kantor 1863. aastal Berliini ülikooli õppima füüsikat, filosoofiat ja matemaatikat. Seal taõpetas:
- Karl Theodor Weierstrass, kelle spetsialiseerumine analüüsile avaldas Georgile ilmselt kõige suuremat mõju;
- Ernst Eduard Kummer, kes õpetas kõrgemat aritmeetikat;
- Leopold Kronecker, arvuteoreetik, kes hiljem Cantorile vastu hakkas.
Pärast ühe semestri veetmist Göttingeni ülikoolis 1866. aastal kirjutas Georg järgmisel aastal doktoritöö pealkirjaga "Matemaatikas on küsimuste esitamise kunst väärtuslikum kui ülesannete lahendamine", mis käsitles Carl Friedrich Gaussi probleemi. jäeti tema Disquisitiones Arithmeticae (1801) lahendamata. Pärast lühiajalist õpetamist Berliini tütarlastekoolis asus Kantor tööle Halle ülikooli, kuhu ta jäi kuni oma elu lõpuni algul õpetajana, alates 1872. aastast abiprofessorina ja alates 1879. aastast professorina.
Uuring
10 artiklist koosneva sarja alguses 1869–1873 käsitles Georg Cantor arvuteooriat. Töö peegeldas tema kirge selle teema vastu, Gaussi uuringuid ja Kroneckeri mõju. Cantori kolleegi Halles Heinrich Eduard Heine ettepanekul, kes tunnustas tema matemaatikaannet, pöördus ta trigonomeetriliste ridade teooria poole, milles ta laiendas reaalarvude mõistet.
Saksa matemaatiku Bernhard Riemanni 1854. aastal tehtud töö kompleksmuutuja funktsioonide põhjal näitas Kantor 1870. aastal, et sellist funktsiooni saab esitada ainult ühel viisil – trigonomeetriliste jadatega. Arvude (punktide) hulga arvestamine, misei oleks sellise seisukohaga vastuolus, viis ta esiteks 1872. aastal irratsionaalarvude defineerimiseni ratsionaalarvude koonduvate jadade (täisarvude murdude) kaudu ning edasi tema elutöö, hulgateooria ja kontseptsiooni kallal töötamise alguseni. lõpmatutest arvudest.
Komplektiteooria
Georg Cantor, kelle hulgateooria sai alguse kirjavahetusest Braunschweigi Tehnikainstituudi matemaatiku Richard Dedekindiga, oli tema sõber lapsepõlvest peale. Nad jõudsid järeldusele, et komplektid, olgu need siis lõplikud või lõpmatud, on elementide (nt arvud, {0, ±1, ±2…}) kogumid, millel on teatud omadus, säilitades samas oma individuaalsuse. Kuid kui Georg Cantor kasutas nende omaduste uurimiseks üks-ühele vastavust (näiteks {A, B, C} kuni {1, 2, 3}), mõistis ta kiiresti, et need erinevad liikmelisuse taseme poolest, isegi kui need oleksid lõpmatud hulgad., st hulgad, mille osa või alamhulk sisaldab sama palju objekte kui ta ise. Tema meetod andis peagi hämmastavaid tulemusi.
1873. aastal näitas Georg Cantor (matemaatik), et ratsionaalarvud, kuigi lõpmatud, on loendatavad, kuna neid saab panna üks-ühele vastavusse naturaalarvudega (st 1, 2, 3 jne). d.). Ta näitas, et irratsionaalsetest ja ratsionaalsetest arvudest koosnev reaalarvude hulk on lõpmatu ja loendamatu. Paradoksaalsem alt tõestas Cantor, et kõigi algebraliste arvude hulk sisaldab sama palju elemente kuikui palju on kõigi täisarvude hulk ja et transtsendentaalsed arvud, mis ei ole algebralised, mis on irratsionaalsete arvude alamhulk, on loendamatud ja seetõttu on nende arv suurem kui täisarvud ning neid tuleks lugeda lõpmatuteks.
Vastased ja toetajad
Kuid Kantori artiklit, milles ta need tulemused esimest korda esitas, Krellis ei avaldatud, kuna üks arvustajaid, Kronecker, oli äged alt vastu. Kuid pärast Dedekindi sekkumist avaldati see 1874. aastal pealkirja all "Kõigi tegelike algebraliste arvude iseloomulike omaduste kohta".
Teadus ja eraelu
Samal aastal, olles oma naise Wally Gutmaniga mesinädalatel Šveitsis Interlakenis, kohtus Kantor Dedekindiga, kes rääkis oma uuest teooriast positiivselt. Georgi palk oli väike, kuid 1863. aastal surnud isa rahaga ehitas ta oma naisele ja viiele lapsele maja. Paljud tema artiklid avaldati Rootsis uues ajakirjas Acta Mathematica, mille toimetaja ja asutaja oli Gesta Mittag-Leffler, kes oli esimeste seas, kes tunnustas saksa matemaatiku talenti.
Seos metafüüsikaga
Cantori teooriast sai täiesti uus lõpmatu matemaatika uurimisobjekt (nt seeriad 1, 2, 3 jne ja keerulisemad hulgad), mis sõltus suuresti üks-ühele vastavusest. Kantori uute lavastusmeetodite väljatöötaminejärjepidevust ja lõpmatust puudutavad küsimused andis tema uurimistööle mitmetähendusliku iseloomu.
Kui ta väitis, et lõpmatud arvud on tõesti olemas, pöördus ta iidse ja keskaegse filosoofia poole tegeliku ja potentsiaalse lõpmatuse osas, samuti varajase usuhariduse poole, mille tema vanemad talle andsid. 1883. aastal ühendas Kantor oma raamatus „Üldise hulga teooria alused” oma kontseptsiooni Platoni metafüüsikaga.
Kronecker, kes väitis, et "olemas on" ainult täisarvud ("Jumal lõi täisarvud, ülejäänu on inimese töö"), lükkas aastaid äged alt tagasi tema arutluskäigu ja takistas tema määramist Berliini ülikooli.
Lõplikud arvud
Aastatel 1895–1897. Georg Cantor kujundas täielikult oma arusaama järjepidevusest ja lõpmatusest, sealhulgas lõpmatutest järg- ja kardinaalarvudest, oma kuulsaimas teoses, mis avaldati nimetuses „Panused piiriüleste arvude teooria loomisele” (1915). See essee sisaldab tema kontseptsiooni, mille juurde ta viidi, näidates, et lõpmatu hulga saab panna üks-ühele vastavusse ühe selle alamhulgaga.
Kõige vähem piiriülese kardinaalarvu all pidas ta silmas iga hulga kardinaalsust, mida saab panna üks-ühele vastavusse naturaalarvudega. Cantor nimetas seda aleph-nulliks. Suuri piiriüleseid hulki tähistatakse alef-üks, alef-kaks jne. Ta arendas edasi piiriüleste arvude aritmeetikat, mis oli analoogne lõpliku aritmeetikaga. nii, temarikastas lõpmatuse mõistet.
Opositsioon, millega ta silmitsi seisis, ja aeg, mis kulus tema ideede täielikuks aktsepteerimiseks, on tingitud iidse küsimuse, mis on arv, ümberhindamise raskusest. Cantor näitas, et joone punktide hulk on kõrgema kardinaalsusega kui aleph-null. See viis kontiinumi hüpoteesi tuntud probleemini – aleph-null ja joone punktide astme vahel ei ole kardinaalarvusid. See probleem 20. sajandi esimesel ja teisel poolel äratas suurt huvi ning seda uurisid paljud matemaatikud, sealhulgas Kurt Gödel ja Paul Cohen.
Depressioon
Georg Kantori elulugu alates 1884. aastast varjutas tema vaimuhaigus, kuid ta jätkas aktiivset tööd. Aastal 1897 aitas ta korraldada Zürichis esimest rahvusvahelist matemaatikakongressi. Osaliselt seetõttu, et Kronecker oli talle vastu, tundis ta sageli kaastunnet noortele edasipüüdlikele matemaatikutele ja püüdis leida viisi, kuidas päästa neid õpetajate ahistamise eest, kes tundsid end uute ideede tõttu ohustatuna.
Tunnustus
Sajandivahetusel tunnistati tema tööd täielikult funktsiooniteooria, analüüsi ja topoloogia aluseks. Lisaks andsid kantor Georgi raamatud tõuke matemaatika loogiliste aluste intuitsionistliku ja formalistliku koolkonna edasisele arengule. See muutis oluliselt õpetamissüsteemi ja seda seostatakse sageli "uue matemaatikaga".
Aastal 1911 oli Kantor nende hulgas, keda kutsutiSt Andrewsi ülikooli 500. aastapäeva tähistamine Šotimaal. Ta läks sinna lootuses kohtuda Bertrand Russelliga, kes oma hiljuti avaldatud teoses Principia Mathematica viitas korduv alt saksa matemaatikule, kuid seda ei juhtunud. Ülikool andis Kantorile aukirja, kuid haiguse tõttu ei saanud ta auhinda isiklikult vastu võtta.
Kantor läks 1913. aastal pensionile, elas vaesuses ja nälgis Esimese maailmasõja ajal. Tema 70. sünnipäeva auks 1915. aastal peetud pidustused jäid sõja tõttu ära, kuid tema kodus toimus väike tseremoonia. Ta suri 01.06.1918 Halles psühhiaatriahaiglas, kus ta veetis oma viimased eluaastad.
Georg Kantor: elulugu. Pere
9. augustil 1874 abiellus saksa matemaatik Wally Gutmanniga. Paaril oli 4 poega ja 2 tütart. Viimane laps sündis 1886. aastal Kantori ostetud uude majja. Isa pärand aitas tal perekonda ülal pidada. Kantori tervist mõjutas tugev alt tema noorima poja surm 1899. aastal ja depressioon pole teda sellest ajast saati jätnud.
